Uso de las matrices

una matriz es un arreglo bidimensional de números. Dado que puede definirse tanto la suma como el producto de matrices, en mayor generalidad se dice que son elementos de un anillo. Una matriz se representa por medio de una letra mayúscula(A,B..) y sus elementos con la misma letra en minúscula (a,b...), con un doble subíndice donde el primero indica la fila y el segundo la columna a la que pertenece.

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}}$

Las matrices se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar transformaciones lineales dada una base. En este último caso, las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales.

Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.

Historia

Es larga la historia del uso de las matrices para resolver ecuaciones lineales. Un importante texto matemático chino que proviene del año 300 a. C. a 200 a. C., Nueve capítulos sobre el Arte de las matemáticas (Jiu Zhang Suan Shu), es el primer ejemplo conocido de uso del método de matrices para resolver un sistema de ecuaciones simultáneas.³ En el capítulo séptimo, "Ni mucho ni poco", el concepto de determinante apareció por primera vez, dos mil años antes de su publicación por el matemático japonésSeki Kōwa en 1683 y el matemático alemán Gottfried Leibniz en 1693.

Después del desarrollo de la teoría de determinantes por Seki Kowa y Leibniz para facilitar la resolución de ecuaciones lineales, a finales del siglo XVII, Cramer presentó en 1750 la ahora denominada regla de Cramer. Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan desarrollaron la eliminación de Gauss-Jordan en el siglo XIX.

Fue James Joseph Sylvester quien utilizó por primera vez el término « matriz » en 1848/1850. En 1925, Werner Heisenberg descubre el cálculo matricial fundando una primera formulación de lo que iba a pasar a ser la mecánica cuántica. Se le considera a este respecto como uno de los padres de la mecánica cuántica.

Operaciones con Matrices

Álgebra de matrices: Suma y resta.

La suma y resta de matrices destacan por ser las operaciones matriciales más sencillas. Estas operaciones se pueden realizar con matrices cuadradas y no cuadradas.

Lo más importante para recordar en estas operaciones es que las matrices que se suman o restan deben tener las mismas dimensiones, es decir, si se suma la matriz A con la matriz B, la cantidad de renglones de A debe ser igual a la cantidad de renglones de B, y la cantidad de columnas de A debe ser igual a la cantidad de columnas de B.

Otro ejemplo de esto seria:

Propiedades de la suma de matrices

Sean ${\displaystyle A,B,C\in {\mathcal {M}}_{n\times m}(\mathbb {K} )}$, donde ${\displaystyle \mathbb {K} }$ es un campo entonces se cumplen las siguientes propiedades para la operación binaria ${\displaystyle +}$

• Asociatividad

${\displaystyle (A+B)+C=A+(B+C)\,\!}$

• Conmutatividad

${\displaystyle (A+B)=(B+A)\,\!}$

• Existencia del elemento neutro aditivo

Existe ${\displaystyle 0\in {\mathcal {M}}_{n\times m}(\mathbb {K} )}$ tal que

${\displaystyle A+0=0+A=A\,\!}$

Multiplicando por un escalar:

Tipos de matrices 

Matriz fila

Una matriz fila está constituida por una sola fila.

Matriz columna

La matriz columna tiene una sola columna

Matriz rectangular

La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.

Matriz traspuesta

Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.

Matriz nula

En una matriz nula todos los elementos son ceros.

Matriz cuadrada

La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.

Los elementos de la forma a_ii constituyen la diagonal principal.

La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1, siendo n el orden de la matriz.

Tipos de matrices cuadradas

Matriz triangular superior

En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

Matriz triangular inferior

En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

Matriz diagonal

En una matriz diagonal todos los elementos que no están situados en la diagonal principal son nulos.

Matriz escalar

Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

Matriz identidad o unidad

Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

Matriz regular

Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.

Matriz singular

Una matriz singular no tiene matriz inversa.

Matriz idempotente

Una matriz, A, es idempotente si:

A² = A.

Matriz involutiva

Una matriz, A, es involutiva si:

A² = I.

Matriz simétrica

Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:

A = A^t.

Matriz antisimétrica o hemisimétrica

Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica:

A = −A^t.

Matriz ortogonal

Una matriz es ortogonal si verifica que:

A · A^t = I.

Uso y aplicaciones de las matrices
en la vida diaria 

En la vida diaria el concepto de matrices es de gran relevancia, ya que las matrices se usan como contenedores para almacenar datos relacionados. Aunque en nuestros tiempos se consideran primero las matrices antes que los determinantes, en sus inicios no fue así. Se le daba mas énfasis al estudio de los determinantes que a las matrices . Actualmente, las matrices son de mucha utilidad en problemas prácticos de la vida diaria. Sobre todo en aquellos que involucran sistemas de ecuaciones lineales.

Por ejemplo, la siguiente información corresponde a la cantidad de energía(calorías) y proteínas (Gramos) que aportan una porción de leche en polvo con una porción de alimento formicante.

¿Cuantas porciones de leche en polvo y alimento formicante se requieren para ingerir 1800 calorías y 70 gramos de proteínas? 

Por último, se puede decir que las matrices se ocupan en muchos aspectos de la vida diaria, como, por ejemplo:

-Utilización de medicamentos.

-Sistema de aguas.

-Cuestiones financieras.

-Tablas nutricionales, como ya lo vimos

Vídeos de Resolución de ejercicios

Suma y resta de matrices

Multiplicación de Matrices

Matrices con incógnitas

Aplicaciones de la física en la vida diaria (Lanzamiento inclinado, caída libre y lanzamiento vertical)

La física en la vida cotidiana: Pues se dice que la física esta presente en cada una de las actividades de nuestra vida,es tan común en nuestra vida como la fuerza de gravedad, la ley referente a este hecho nos dice que la tierra ejerce una fuerza sobre cada uno de los objetos que estén en ella, y es por esta razón que permanecemos en la tierra y no nos elevamos por el espacio. Otra relación de la física en la vida cotidiana puedes verla en la "inercia" cuando vas, por ejemplo, en un camión que esta avanzando con cierta velocidad y este repentinamente frena, la "inercia" que lleva tu cuerpo hace que te vallas hacia adelante.
Ejemplos de Caída libre en la vida cotidiana:
A) De un árbol cae una manzana
B) Dejas caer una piedra a un pozo

Ejercicios de Caída libre:Un cuerpo cae libremente desde el reposo durante 6 segundos hasta llegar al suelo. Calcular la distancia que ha recorrido , la altura desde donde se soltó. 

   Datos que tenemos:

   Velocidad inicial ………. Vo = 0 (la soltamos y parte de velocidad cero)
   Tiempo de caída …….…... t = 6 s 
   Aceleración de caída …... g = 10 m/s2 (aproximamos en lugar de 9,8)
   Altura final será el suelo = 0 (Nota: aunque no fuera el suelo en caída libre la altura final siempre = 0)
   Parte de una altura inicial Yo = ??? es la que nos piden, también podemos llamarla altura o "h".



   Aplicaremos la segunda fórmula : 

   Y = vo t + Yo - 0.5 gt²  donde Yo será la altura inicial o altura desde la que cae (h).

    poniendo valores en la fórmula : 

   0 = Yo -0.5 ( 10 x 6²)  ==> despejando Yo

   -Yo = - 180  Los signos menos se nos marchan en los dos miembros de la ecuación y quedarán positivos.

   Yo = 180m Resuelto  h = 180 metros
Ejemplos de lanzamiento Vertical:
A) lanzas una pelota de Béisbol hacia arriba
B) desde el 2° piso le lanzas las llaves con velocidad hacia abajo a tu hermano que se encuentra abajo del edificio.

Ejercicio de Lanzamiento Vertical: 

1.- Una flecha es disparada verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 40 m/s.

a) ¿Cuánto tiempo se elevará?

b) ¿Qué altura alcanzará?

d) ¿Cuál su posición vertical y su velocidad después de 2 s?

DATOS	FORMULA	SUSTITUCIÓN	RESULTADOS
t = ?	t= Vf -V0 / a=	0- 40 m/s / - 9.8 m/s^2	=4.0s
V0= 40m/s	d = V0t + gt^2 / 2=	40m/s(4s)+( -9.8m/s^2 )(4s)^2 / 2	= 81.6 m
g= 9.8m/s^2	Vf = gt+ V0	9.8m/s^2( 2s)+0	= 19.6 m/s
a) t = ?	d = V0t + gt^2 / 2=	40m/s(2s)+( -9.8m/s^2 )(2s)^2 / 2	=60.4 m
b) d = ?
c) d = ?
Vf= ?

Ejemplos de lanzamiento inclinado:A) Un jugador de fútbol Patea el balón desde el punto A al Punto B
B) Un jugador de Béisbol Saca la Pelota de Home run

Ejercicios de lanzamiento inclinado:

2)Un chorro de agua sale horizontalmente por un orificio de un tanque que esta situado a 3 m de altura (alcance = 4 m). Calcular la velocidad del chorro?

Datos:

R = 4 m

Y = 3 m

Vo = ?

Alc = Vx . Tv

Vx = Alc

          Tv

Tv = √2 . y

             G

Tv = √2 . 3 m

          9,8 m/s²

Tv = 0,78 s

Vx =    4m    =  5,12 m/s

          0,78 s

Vx = 5,12 m/seg.



Vídeos de la Realización de ejercicios de Lanzamiento inclinado, Caída libre y lanzamiento Vertical:*Lanzamiento Inclinado


*Caída libre


*Lanzamiento vertical

Biografias

Albert Einstein:

Albert Einstein nació en la ciudad bávara de Ulm el 14 de marzo de 1879. Fue el hijo primogénito de Hermann Einstein y de Pauline Koch, judíos ambos, cuyas familias procedían de Suabia. Al siguiente año se trasladaron a Munich, en donde el padre se estableció, junto con su hermano Jakob, como comerciante en las novedades electro técnicas de la época.

En el otoño de 1896 inició sus estudios superiores en la Eidgenossische Technische Hochschule de Zúrich, en donde fue alumno del matemático Hermann Minkowski, quien posteriormente generalizó el formalismo cuatridimensional introducido por las teorías de su antiguo alumno.

El 23 de junio de 1902, Albert Einstein empezó a prestar sus servicios en la Oficina Confederal de la Propiedad Intelectual de Berna, donde trabajó hasta 1909. En 1903 contrajo matrimonio con Mileva Maric, antigua compañera de estudios en Zúrich, con quien tuvo dos hijos: Hans Albert y Eduard, nacidos respectivamente en 1904 y en 1910. En 1919 se divorciaron, y Einstein se casó de nuevo con su prima Elsa.

En 1909 inició su carrera de docente universitario en Zúrich, pasando luego a Praga y regresando de nuevo a Zúrich en 1912.

Durante la siguiente década, Einstein concentró sus esfuerzos en hallar una relación matemática entre el electromagnetismo y la atracción gravitatoria, empeñado en avanzar hacia el que, para él, debía ser el objetivo último de la física: descubrir las leyes comunes que, supuesta mente, habían de regir el comportamiento de todos los objetos del universo, desde las partículas subatómicas hasta los cuerpos estelares, y agruparlas en una única teoría "de campo unificado".Einstein pasó los últimos veinticinco años de su vida en el Instituto de Estudios Superiores de Princeton (Nueva Jersey), ciudad en la que murió el 18 de abril de 1955.

Galileo Galilei:Físico y astrónomo italiano. Sus estudios sobre la caída de los cuerpos y la trayectoria de los proyectiles sentaron las bases sobre las que Newton fundaría la física clásica; en astronomía, la invención del telescopio le permitió acumular pruebas en apoyo del modelo heliocéntrico de Copérnico.
Nacido en Pisa, ciudad perteneciente al Ducado de Toscana en época de Galileo, fue el primogénito del florentino Vincenzo Galilei, músico por vocación aunque obligado a dedicarse al comercio para sobrevivir. En 1574 la familia se trasladó a Florencia, y Galileo fue enviado un tiempo (quizá como novicio) al monasterio de Santa Maria di Vallombrosa, hasta que, en 1581, su padre lo matriculó como estudiante de medicina en la Universidad de Pisa. Pero en 1585, tras haberse iniciado en las matemáticas fuera de las aulas, abandonó los estudios universitarios sin obtener ningún título, aunque sí había adquirido gusto por la filosofía y la literatura.escribió un texto sobre el movimiento, que mantuvo inédito, en el cual criticaba los puntos de vista de Aristóteles acerca de la caída libre de los graves y el movimiento de los proyectiles. Una tradición apócrifa, pero muy divulgada, le atribuye haber ilustrado sus críticas con una serie de experimentos públicos realizados en lo alto del Campanile de Pisa, desde donde dejó caer simultáneamente cuerpos de distinto peso para mostrar que todos llegaban al suelo al mismo tiempo, refutando con este simple experimento la por entonces sagrada autoridad de Aristóteles, que había afirmado, casi dos mil años antes, que los cuerpos más pesados caían más deprisa.Galileo inauguraba la revolución metodológica que le ha valido el título de «padre de la ciencia moderna». En 1592 pasó a ocupar una cátedra de matemáticas en Padua e inició un fructífero período de su vida científica: se ocupó de cuestiones de arquitectura militar y de topografía, realizó diversas invenciones mecánicas, re emprendió sus estudios sobre el movimiento y descubrió el isocronismo del péndulo.
En 1611 viajó a Roma, donde el príncipe Federico Cesi lo hizo primer miembro de la Accademia dei Lincei, fundada por él, y luego patrocinó la publicación (1612) de las observaciones de Galileo sobre las manchas solares. Pero la profesión de copernicanismo contenida en el texto provocó una denuncia ante el Santo Oficio; en 1616, tras la inclusión en el Índice de libros prohibidos de la obra de Copérnico, Galileo fue advertido de que no debía exponer públicamente las tesis condenadas.


Aristoteles:Fue un polímata: filósofo, lógico y científico de laAntigua Grecia cuyas ideas han ejercido una enorme influencia sobre la historia intelectual de Occidente por más de dos milenios. Aristóteles escribió cerca de 200 tratados (de los cuales solo nos han llegado 31) sobre una enorme variedad de temas, incluyendo lógica,metafísica, filosofía de la ciencia, ética, filosofía política, estética, retórica,física, astronomía y biología.Aristóteles transformó muchas, si no todas, las áreas del conocimiento que abordó. Es reconocido como el padre fundador de la lógica y de la biología, pues si bien existen reflexiones y escritos previos sobre ambas materias, es en el trabajo de Aristóteles, donde se encuentran las primeras investigaciones sistemáticas al respecto.

Entre muchas otras contribuciones, Aristóteles formuló la teoría de la generación espontánea, el principio de no contradicción, las nociones decategoría, sustancia, acto, potencia y primer motor inmóvil. Algunas de sus ideas, que fueron novedosas para la filosofía de su tiempo, hoy forman parte del sentido común de muchas personas.

Aristóteles fue discípulo de Platón y de otros pensadores (como Eudoxo) durante los veinte años que estuvo en la Academia de Atenas. Fue maestro de Alejandro Magno en el Reino de Macedonia.En la última etapa de su vida fundó el Liceo en Atenas, donde enseñó hasta un año antes de su muerte.


Nicolás Copérnico:

 Fue un astrónomo del Renacimiento que formuló la teoría heliocéntrica del Sistema Solar, concebida en primera instancia por Aristarco de Samos. Su libro De revolutionibus orbium coelestium (Sobre las revoluciones de las esferas celestes) suele ser considerado como el punto inicial o fundador de la astronomía moderna, además de ser una pieza clave en lo que se llamó la Revolución Científica en la época del Renacimiento. Copérnico pasó cerca de veinticinco años trabajando en el desarrollo de su modelo heliocéntrico del universo. En aquella época resultó difícil que los científicos lo aceptaran, ya que suponía una auténtica revolución. Copérnico era matemático, astrónomo, jurista, físico, clérigo católico romano, gobernador, líder militar, diplomático y economista. Junto con sus extensas responsabilidades, la astronomía figuraba como poco más que una distracción. Por su enorme contribución a la astronomía, en 1935 se dio el nombre «Copernicus» a uno de los mayores cráteres lunares, ubicado en el Mare Insularum.
El modelo heliocéntrico es considerado una de las teorías más importantes en la historia de la ciencia occidental.

Copérnico no publicó su obra en la que defendía el heliocentrismo hasta 1543, año de su fallecimiento, teniendo la admiración de las autoridades eclesiásticas de la Iglesia Católica Romana; sin embargo, sus libros serían incluidos en el Index, muchos años después de su muerte, con el caso Galileo.