Uso de las matrices

una matriz es un arreglo bidimensional de números. Dado que puede definirse tanto la suma como el producto de matrices, en mayor generalidad se dice que son elementos de un anillo. Una matriz se representa por medio de una letra mayúscula(A,B..) y sus elementos con la misma letra en minúscula (a,b...), con un doble subíndice donde el primero indica la fila y el segundo la columna a la que pertenece.

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}}$

Las matrices se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar transformaciones lineales dada una base. En este último caso, las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales.

Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.

Historia

Es larga la historia del uso de las matrices para resolver ecuaciones lineales. Un importante texto matemático chino que proviene del año 300 a. C. a 200 a. C., Nueve capítulos sobre el Arte de las matemáticas (Jiu Zhang Suan Shu), es el primer ejemplo conocido de uso del método de matrices para resolver un sistema de ecuaciones simultáneas.³ En el capítulo séptimo, "Ni mucho ni poco", el concepto de determinante apareció por primera vez, dos mil años antes de su publicación por el matemático japonésSeki Kōwa en 1683 y el matemático alemán Gottfried Leibniz en 1693.

Después del desarrollo de la teoría de determinantes por Seki Kowa y Leibniz para facilitar la resolución de ecuaciones lineales, a finales del siglo XVII, Cramer presentó en 1750 la ahora denominada regla de Cramer. Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan desarrollaron la eliminación de Gauss-Jordan en el siglo XIX.

Fue James Joseph Sylvester quien utilizó por primera vez el término « matriz » en 1848/1850. En 1925, Werner Heisenberg descubre el cálculo matricial fundando una primera formulación de lo que iba a pasar a ser la mecánica cuántica. Se le considera a este respecto como uno de los padres de la mecánica cuántica.

Operaciones con Matrices

Álgebra de matrices: Suma y resta.

La suma y resta de matrices destacan por ser las operaciones matriciales más sencillas. Estas operaciones se pueden realizar con matrices cuadradas y no cuadradas.

Lo más importante para recordar en estas operaciones es que las matrices que se suman o restan deben tener las mismas dimensiones, es decir, si se suma la matriz A con la matriz B, la cantidad de renglones de A debe ser igual a la cantidad de renglones de B, y la cantidad de columnas de A debe ser igual a la cantidad de columnas de B.

Otro ejemplo de esto seria:

Propiedades de la suma de matrices

Sean ${\displaystyle A,B,C\in {\mathcal {M}}_{n\times m}(\mathbb {K} )}$, donde ${\displaystyle \mathbb {K} }$ es un campo entonces se cumplen las siguientes propiedades para la operación binaria ${\displaystyle +}$

• Asociatividad

${\displaystyle (A+B)+C=A+(B+C)\,\!}$

• Conmutatividad

${\displaystyle (A+B)=(B+A)\,\!}$

• Existencia del elemento neutro aditivo

Existe ${\displaystyle 0\in {\mathcal {M}}_{n\times m}(\mathbb {K} )}$ tal que

${\displaystyle A+0=0+A=A\,\!}$

Multiplicando por un escalar:

Tipos de matrices 

Matriz fila

Una matriz fila está constituida por una sola fila.

Matriz columna

La matriz columna tiene una sola columna

Matriz rectangular

La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.

Matriz traspuesta

Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.

Matriz nula

En una matriz nula todos los elementos son ceros.

Matriz cuadrada

La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.

Los elementos de la forma a_ii constituyen la diagonal principal.

La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1, siendo n el orden de la matriz.

Tipos de matrices cuadradas

Matriz triangular superior

En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

Matriz triangular inferior

En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

Matriz diagonal

En una matriz diagonal todos los elementos que no están situados en la diagonal principal son nulos.

Matriz escalar

Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

Matriz identidad o unidad

Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

Matriz regular

Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.

Matriz singular

Una matriz singular no tiene matriz inversa.

Matriz idempotente

Una matriz, A, es idempotente si:

A² = A.

Matriz involutiva

Una matriz, A, es involutiva si:

A² = I.

Matriz simétrica

Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:

A = A^t.

Matriz antisimétrica o hemisimétrica

Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica:

A = −A^t.

Matriz ortogonal

Una matriz es ortogonal si verifica que:

A · A^t = I.

Uso y aplicaciones de las matrices
en la vida diaria 

En la vida diaria el concepto de matrices es de gran relevancia, ya que las matrices se usan como contenedores para almacenar datos relacionados. Aunque en nuestros tiempos se consideran primero las matrices antes que los determinantes, en sus inicios no fue así. Se le daba mas énfasis al estudio de los determinantes que a las matrices . Actualmente, las matrices son de mucha utilidad en problemas prácticos de la vida diaria. Sobre todo en aquellos que involucran sistemas de ecuaciones lineales.

Por ejemplo, la siguiente información corresponde a la cantidad de energía(calorías) y proteínas (Gramos) que aportan una porción de leche en polvo con una porción de alimento formicante.

¿Cuantas porciones de leche en polvo y alimento formicante se requieren para ingerir 1800 calorías y 70 gramos de proteínas? 

Por último, se puede decir que las matrices se ocupan en muchos aspectos de la vida diaria, como, por ejemplo:

-Utilización de medicamentos.

-Sistema de aguas.

-Cuestiones financieras.

-Tablas nutricionales, como ya lo vimos

Vídeos de Resolución de ejercicios

Suma y resta de matrices

Multiplicación de Matrices

Matrices con incógnitas